Bevis for at (−1) · (−1) = 1

Vi ved på forhånd at

(−1) · 1 = −1
1 · (−1) = −1

hvilket følger umiddelbart af at hvis man har noget én gang, får man det samme, eller desuden ved egenskaben x · 1 = 1 · x = 1 (se nedenfor). Men hvordan kan det i grunden være at (−1) · (−1) = 1 ? Det kan være at der er nogle, der mener at det er intuitivt klart eller indlysende, at (−1) ganget med sig selv giver 1 eller og som derfor ikke bekymrer sig om beviset for dette? Det kan også være at de allerede har set et bevis for det eller selv er i stand til at lave det. Disse kan springe nedenstående over. For de andre, som indtil nu blot har taget det for givet, uden at kunne forklare rigtigheden af det, har jeg samlet to beviser her; et umiddelbart, som de fleste kan læse uden forkundskab til matematik, og et andet mere omstændigt, som kræver lidt kendskab til matematisk notation.

Kort version:

Her er først en lidt umiddelbar tilgang uden forudsætninger, som jeg selv har kradset ned.

Vi har, at højresiderne i de to ligninger ovenfor

(−1) · 1 = −1
1 · (−1) = −1

er ens, dvs. at vi kan sætte dem lig hinanden: −1 = −1, hvilket således er det samme som

(−1) · 1 = 1 · (−1)

Nu trækker vi højresiden 1 · (−1) i denne ligning fra på begge sider – hvilket svarer til at flytte højresiden over på venstresiden blot med ændret fortegn:

(−1) · 1 −1 · (−1) = 0

Da ettallet er ganget på begge steder, altså på (−1) begge steder , kan vi sætte den udenfor parentes:

1 · ((−1)−(−1)) = 0

Nu har vi jo, at højresiden er nul. Men højresiden er jo lig med venstresiden (som derfor også nødvendigvis må være nul). Og hvis et produkt giver nul, må det betyde at én af faktorerne giver nul, i dette tilfælde altså enten 1 eller . Det kan ikke være 1 (for 1 er jo – i sagens natur – ikke lig 0), ergo må det være ((−1)−(−1). Men hvis denne er nul, betyder dette at de to tal (−1) og −(−1) er hinandens inverse (~modsatte), dvs. at de ’’ophæver’’ hinanden. Så hvis summen (−1) + (−(−1)) er nul, og vi samtidig ved at dette kun er opfyldt hvis de to led ophæver hinanden ved at være hinandens modsatte, så kan vi heraf slutte, at den eneste mulighed må være at (−(−1)) = 1, dvs. at

−(−1) = (−1)(−1) = 1

Lang version:

Her den formelle udgave med den 100 % korrekte og stringente fremstilling.

Lad der være givet de reelle tal, , som et legeme med de følgende 6 legemsaksiomer:

1 x, y : x + y = y + x
x, y ∈ ℝ: x · y = y · x
Addition og multiplikation er kommutative komponenter
2 x, y, z ∈ ℝ: x + (y + z) = (x + y) + z
x, y, z ∈ ℝ: x ·
(y · z) = (x · y) · z
Addition og multiplikation er associative komponenter
3 x, y, z : x · ( y + z) = x · y + x · z
Multiplikation er distributiv mht. addition
4 Der findes et element 0 så at ∀x ∈ ℝ: x + 0 = x Til ethvert x ∈ ℝfindes der et element betegnet −x så at x + (−x) = 0 Eksistens af neutralelement for addition og additiv invers
5 Der findes et element 1 med 1 ≠ 0 så at :
x ∈ ℝ: x · 1 = x
Eksistens af neutralelement for multiplikation
6 Til ethvert x ℝ med x ≠ 0 findes et element betegnet x −1 så at: x · x −1 = 1 Eksistens af multiplikativ invers

Ud fra disse egenskaber ved de reelle tal , vises det, at der gælder to sætninger. Herefter vises, at man herudaf kan udlede (x)(−x) = x 2 som noget der følger af aksiomerne.

Sætning 1:

a) Lad x ∈ ℝ. Da findes præcis ét y ∈ ℝ, så at x + y = 0 (dvs. y er entydigt bestemt)

b) Lad x ∈ ℝ med x ≠ 0. Da findes præcis ét y ∈ ℝ, så at x · y = 1 (dvs. y entydig)

Bevis:

a) Antag at y, z ∈ ℝ hvorom det gælder at x + y = x + z = 0. Det skal så vises at y = z (og dermed at y i sætningen er entydig). Dette følger af at

y = y + 0 = y + (x + z) = (y + x) + z = o + z = z + 0 =z,

hvor vi flere steder undervejs brugte de 6 aksiomer.

b) Det samme som ovenstående bevis, blot skal + erstattes med · og 0 med 1.

Sætning 2: Lad x ∈ ℝ. Da gælder der, at −x = (1) · x

Bevis: Vi har, at

0 = x · 0 = 0 · x = (1 + (1)) · x = 1 · x + (1) · x = x · 1 + (1) · x = x + (1) · x

Da vi samtidigt har, at x + (−x) = 0, følger det af Sætning 1 (den additive inverse er entydigt bestemt) at −x = (−1) · x

Lemma: For alle x, y ∈ ℝ gælder der at (−x) · (−y) = xy. Som et specialtilfælde af dette, følger det at (1) · (1) = (1)2 = 1

Bevis: Vi viser først specialtilfældet (1) · (1) = 1, fordi dette skal bruges i beviset for det generelle tilfælde. Ifølge Sætning 2 har vi at (1) · (1) = (1). Desuden ved vi at (1) + (1) = 0, da (1) er den additive inverse til (1). Men da der ligeledes gælder at (1) + 1 = 1 + (1) = 0, følger det af Sætning 1, at så må (1) = (1) · (1) = 1 (fordi den additive inverse jo er entydigt bestemt).

For nu at vise det generelle tilfælde (x) · (y) = xy, har vi, at

(x) · (y) = ((1) · x) · ((1) · y)
= [((1) · x) · (1)] · y
= [(1) · (x · (1))] · y
= [(1) · ((1) · x)] · y
= [((1) · (1)) · x] · y
= (1 · x) · y (se forklaring nedenfor)
= x · y

Undervejs brugte vi flere steder de 6 legemsaksiomer for de reelle tal: Blandt andet i linje 3, hvor vi benyttede, at multiplikation er en associativ komponent (man kan flytte rundt på paranteserne og resultatet er det samme). Desuden brugte vi specialtilfældet (1) · (1) = 1 i linje 5, dvs. i skridtet [((1) · (1)) · x] · y =(1 · x) · y

Skriv et svar

Udfyld dine oplysninger nedenfor eller klik på et ikon for at logge ind:

WordPress.com Logo

Du kommenterer med din WordPress.com konto. Log Out / Skift )

Twitter picture

Du kommenterer med din Twitter konto. Log Out / Skift )

Facebook photo

Du kommenterer med din Facebook konto. Log Out / Skift )

Google+ photo

Du kommenterer med din Google+ konto. Log Out / Skift )

Connecting to %s